Question

23、一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價(jià)為12元/件，年銷(xiāo)售量為2萬(wàn)件．今年計(jì)劃通過(guò)適當(dāng)增加成本來(lái)提高產(chǎn)品檔次，以拓展市場(chǎng)．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，則預(yù)計(jì)今年年銷(xiāo)售量將比去年年銷(xiāo)售量增加x倍（本題中0＜x≤11）．
（1）用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為

（10+7x）

元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為

（12+6x）

元．
（2）求今年這種玩具的每件利潤(rùn)y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)今年這種玩具的年銷(xiāo)售利潤(rùn)為w萬(wàn)元，求當(dāng)x為何值時(shí)，今年的年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大年銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
注：年銷(xiāo)售利潤(rùn)=（每件玩具的出廠價(jià)-每件玩具的成本）×年銷(xiāo)售量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即為（10+10•0.7x）元/件；這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，即為（12+12•0.5x）元/件；
（2）今年這種玩具的每件利潤(rùn)y等于每件的出廠價(jià)減去每件的成本價(jià)，即y=（12+6x）-（10+7x），然后整理即可；
（3）今年的年銷(xiāo)售量為（2+2x）萬(wàn)件，再根據(jù)年銷(xiāo)售利潤(rùn)=（每件玩具的出廠價(jià)-每件玩具的成本）×年銷(xiāo)售量，得到w=-2（1+x）（x-2），然后把它配成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可得到答案．

解答：解（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）-（10+7x），
∴y=2-x  （0＜x＜2）；

（3）∵w=2（1+x）•y
=-2（1+x）（x-2）
=-2x²+2x+4，
∴w=-2（x-0.5）²+4.5
∵-2＜0，0＜x≤11，
∴w有最大值，
∴當(dāng)x=0.5時(shí)，w_最大=4.5（萬(wàn)元）．
答：當(dāng)x為0.5時(shí)，今年的年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大年銷(xiāo)售利潤(rùn)是4.5萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y=a（x-k）²+h，（a≠0），當(dāng)a＜0，拋物線的開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，當(dāng)x=k，函數(shù)的最大值為h．也考查了代數(shù)式的表示和利潤(rùn)的含義以及配方法．