Question

如圖，已知經(jīng)過坐標原點的⊙P與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，6），點C是第一象限內(nèi)⊙P上一點，CB=CO，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A和點C．
（1）求⊙P的半徑；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點D，使得點A、點B、點C和點D構(gòu)成矩形？若存在，直接寫出符合條件的點D的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出AB是⊙P的直徑，進而利用勾股定理得出AB的長，即可得出半徑；
（2）首先得出C點坐標，進而將A，C點的坐標代入拋物線解析式即可；
（3）利用數(shù)形結(jié)合以及矩形的性質(zhì)得出直線BD的解析式，進而聯(lián)立兩函數(shù)得出D點坐標即可．

解答：解：（1）連接AB，
∵∠AOB=90°，∴AB是⊙P的直徑，
∵點A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∴AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10，
∴⊙P的半徑是5；

（2）作CH⊥OB，垂直為H，
∵CB=CO，∴H是OB的中點，
∴CH過圓心P，
PH=

PB2-BH2

=

52-32

=4，
∴C的坐標是（9，3），
把A、C坐標分別代入y=ax²+bx得：

64a+8b=0 81a+9b=3

，
解得：

a= 1 3 b=- 8 3

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

8

3

x；

（3）設直線AC的解析為y=kx+c，
∵A（8，0），C（9，3），
∴

8k+c=0 9k+c=3

，
解得：

k=3 c=-24

，
∴直線AC的解析為y=3x-24，
∵點A、點B、點C和點D構(gòu)成矩形，
∴BD∥AC，
∴設BD解析式為y=3x+d，∵直線BD過B點，
∴d=6，
∴BD解析式為：y=3x+6，
將y=3x+6與y=

1

3

x²-

8

3

x聯(lián)立得：
3x+6=

1

3

x²-

8

3

x，
解得；x₁=-1，x₂=18（不合題意），
x=1時，y=3，
∴D（-1，3）．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及勾股定理和待定系數(shù)法求拋物線解析式以及矩形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出D點位置是解題關鍵．