Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD交線(xiàn)段BC于E，設(shè)AP=x．
（1）求PD：PE的值；
（2）設(shè)DE²=y，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x取何值時(shí)，y有最小值；
（3）當(dāng)△PCD為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）過(guò)P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，則MN∥CD．
∴，
∴，，
∴，．
∵∠MPD+∠MDP=∠MPD+∠NPE=90°，
∴∠MDP=∠NPE．
又∵∠DMP=∠PNE=90°，
∴△DMP∽△PNE．
∴，
∴PD：PE=2：1；

（2）∵PM=x，
∴．
∵CN=，，
∴．
∵DE²=CD²+CE²，
∴．
當(dāng)DP⊥AC時(shí)y有最小值，可求AP=，即當(dāng)x=時(shí)，y有最小值．

（3）當(dāng)PD=PC時(shí)，則AP=；
當(dāng)CP=CD時(shí)，則AP=；
當(dāng)DP=DC時(shí)，則AP=．
分析：（1）此題要通過(guò)構(gòu)建相似三角形求解，過(guò)P作MN⊥BC于N，交AD于M，若AP=x，通過(guò)△APM∽△ACD即可得到PM、DM的表達(dá)式，同理可求得PN、CN表達(dá)式，由于PD⊥PE，可證得△PDM∽△EPN，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可得到PD：PE的值．
（2）由于△DPE是直角三角形，即可由勾股定理求得DE²的表達(dá)式，也就得到了關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出y的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．
（3）在上面兩個(gè)題中，已經(jīng)求得了PD、PC的表達(dá)式，可根據(jù)：
①PD=PC，②PD=DC，③PC=CD，三個(gè)不同的等量關(guān)系，列方程求出對(duì)應(yīng)的x的值，即AP的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．