Question

如圖，直線y=kx-2（k＞0）與雙曲線y=在第一象限內的交點為R，與x軸的交點為P，與y軸的交點為Q．作RM⊥x軸于點M，若△OPQ與△PRM的面積是4：1，則k=________．

Answer 1

3
分析：先利用直線的解析式求出點Q的坐標，再判定△OPQ與△PRM相似，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出RM的長度，再根據雙曲線的解析式求出點R的坐標，最后把點R的坐標代入直線解析式進行計算即可求出k的值．
解答：當x=0時，y=k×0-2=-2，
∴點Q的坐標是（0，-2），
∴OQ=2，
∵RM⊥x軸于點M，
∴∠RMP=90°，
∵∠QOP=90°，
∴∠RMP=∠QOP，
又∵∠RPM=∠QPO（對頂角相等），
∴△OPQ∽△PRM，
∵△OPQ與△PRM的面積之比是4：1，
∴OQ：RM=2：1，
∴RM=OQ=×2=1，
∵點R在雙曲線y=上，
∴x===1，
∴點R的坐標是（1，1），
∴k-2=1，
解得k=3．
故答案為：3．
點評：本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了直線的交點問題，相似三角形的判定與相似三角形的面積的比等于相似比的平方的性質，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的思想，綜合性較強，但難度不大，仔細分析即可輕松求解．