Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，AD⊥CD于點(diǎn)D．

（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的長；
②求出圖中陰影部分的面積.

Answer 1

（1）用角平分線定理即可證得
（2）①3         ②

解析試題分析：（1）連接OE，由切線的性質(zhì)可知，OE⊥CD，再根據(jù)AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)∠ABE=60°求出∠EAO的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DAE的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AE及BE的長，在Rt△ADE中利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出AD的長；
②由三角形內(nèi)角和定理求出∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)OA=OB可知S△AOE=S△BOE=S△ABE求出△AOE的面積，由S陰影=S扇形AOE-S△AOE即可得出結(jié)論．
（1）證明：連接
∵與⊙相切于點(diǎn)
∴
即
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴平分        4分

（2）①

在中，

在中，
        7分
②

        10分
考點(diǎn)：角平分線、切線性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、扇形面積、
點(diǎn)評：此題比較綜合，把幾個只是點(diǎn)綜合一起考察，主要考察學(xué)生對學(xué)過知識的綜合運(yùn)用，學(xué)生可以在平時的習(xí)題中加強(qiáng)練習(xí)。