Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，最低點(diǎn)為M，且S_△AMB＝.

（1）求此拋物線的解析式，并說(shuō)明這條拋物線是由拋物線y=ax²怎樣平移得到的；
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿著射線AB以2cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束；
①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P、Q兩點(diǎn)間的距離是否存在最小值，如果存在，請(qǐng)求出它的最小值；
②當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形? 如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為是由拋物線向右1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；（2）①；②R（，-）

試題分析：（1）由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為，再根據(jù)△AMB的面積即可求得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再設(shè)出頂點(diǎn)式，最后把A點(diǎn)的只能代入即可得到結(jié)果；
（2）①先求出關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；②分AB∥QR與BR∥PQ兩種情況，根據(jù)梯形的性質(zhì)分析即可.
（1）由題意得拋物線的對(duì)稱軸為
，
則拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
∴設(shè)拋物線解析式為
∵圖象過(guò)點(diǎn)A（0，-2）
∴，
∴拋物線的解析式為
這條拋物線是由拋物線向右1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；
（2）①PQ²=（2-2t）²+t²=5(t-)²+
存在，當(dāng)t=時(shí)，最小值；
②1⁰當(dāng)AB∥QR時(shí)
y=-時(shí)，(x-1)²-=-
x₁=或x₂=
當(dāng)x₁=時(shí)，說(shuō)明P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形
當(dāng)x₂=時(shí)，PBRQ為平行四邊形，舍
2⁰當(dāng)BR∥PQ時(shí)，與x₂=的情況相同，故此時(shí)不存在梯形
∴R（，-）.
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考?jí)狠S題，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.