Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P．已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b的值，并寫出拋物線對(duì)稱軸及y的最大值（用含有n的代數(shù)式表示）；
（2）若拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，求n為何值時(shí)，△NPO的面積為1；
（3）若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P，待定系數(shù)法即可求出b和c的值，然后求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸；
（2）根據(jù)拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式寫出△NPO的面積S關(guān)于n的關(guān)系式，然后根據(jù)面積為1，求出n的值即可；
（3）拋物線經(jīng)過方形區(qū)域ABCD（含邊界），則求出拋物線過正方形四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)n的值，然后求出n的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P，且p點(diǎn)坐標(biāo)為（n，0），
∴c=0，b=n，
拋物線的解析式為y=-x²+nx，
拋物線的對(duì)稱軸x=

n

2

，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

n

2

，

n2

4

），
y的最大值為

n2

4

；

（2）∵正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
∴直線AD的解析式為x=2，
∵拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2n-4），
當(dāng)n＞2時(shí)，S_△NPO=

1

2

×n×（2n-4），
又知△NPO的面積為1，
∴n²-2n=1，
解得n=1±

2

，
又∵n＞0，
∴n=1+

2

；
當(dāng)n=2時(shí)，P、N兩點(diǎn)重合，△NPO不存在，
當(dāng)0＜n＜2時(shí)，

1

2

n（4-2n）=1，解得n=1，
故當(dāng)n=1+

2

或n=1時(shí)，△NPO的面積為1；

（3）分別把A（2，2）、B（3，2）、C（3，3）、D（2，3）中的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+nx中，
解得n=3；n=

11

3

，n=4，n=

7

2

，
若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），
則n的取值范圍是3≤n≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題（2）問時(shí)需要對(duì)n進(jìn)行分類討論，否則只求出一種答案，解答（3）問時(shí)考慮臨界的四個(gè)頂點(diǎn)，此題有一定的難度．