Question

如圖,設(shè)拋物線C₁:, C₂:,C₁與C₂的交點(diǎn)為A, B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2.

   （1）求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)； 

（2）點(diǎn)D在線段AB上,過(guò)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG. 記過(guò)C₂頂點(diǎn)Ｍ的直線為,且與x軸交于點(diǎn)N.

① 若過(guò)△DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；

② 若與△DHG的邊DG相交,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.

 

Answer 1

解：（1）∵ 點(diǎn)A在拋物線C₁上，∴ 把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得 =1. 

∴ 拋物線C₁的解析式為,

     設(shè)B(－2,b)，  ∴  b＝－4,  ∴  B(－2,－4) .             

（2）①如圖1，

∵  M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x軸，∴ 點(diǎn)M在DH上，MH=5.

過(guò)點(diǎn)G作GE⊥DH,垂足為E,

由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，

∴  ME＝4.                         

設(shè)N ( x, 0 ), 則 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN,得  ,

∴ ,    ∴ ,

∴ 點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為．        

 

② 當(dāng)點(diǎn)Ｄ移到與點(diǎn)A重合時(shí),如圖2，

直線與DG交于點(diǎn)G,此時(shí)點(diǎn)Ｎ的橫坐標(biāo)最大．

過(guò)點(diǎn)Ｇ,Ｍ作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)Ｑ,F,

設(shè)Ｎ（x，0），

∵  A (2, 4),    ∴  G (, 2),

∴  NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.

∵ △NGQ∽△NMF，

∴ ,

∴ ,

∴ .          

當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)B重合時(shí),如圖3，

直線與DG交于點(diǎn)D,即點(diǎn)B,

此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小.

   ∵  B(－2, －4),    ∴  H(－2, 0), D(－2, －4),

設(shè)N（x，0），

∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，

∴ ,    ∴ .                        

∴ 點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為 ≤x≤.