Question

已知直線AB的解析式為：y=

4

3

x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)C從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，以經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱；并求出直線BC的解析式；
（3）直接寫出當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)應(yīng)的值；
（4）在第（2）小題第前提下，在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△BCP=2S_△ABC？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令=0，則y=4可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，令y=0，則0=

4

3

x+4可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式；
（3）分三種情況①當(dāng)AB=BC時(shí)t=3；②當(dāng)AC=BC時(shí)；③當(dāng)AB=AC時(shí)；分別求解即可；
（4）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)分別求解即可．

解答：解：（1）令=0，則y=4；則點(diǎn)B（0，4），
令y=0，則0=

4

3

x+4，解得：x=-3；則點(diǎn)A（-3，0）．
（2）點(diǎn)A關(guān)于y軸點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為A′（3，0），所以當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到A′（3，0）時(shí)，直線BC與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱，則t=

6

2

=3秒．
設(shè)此時(shí)直線BC的解析式為：y=kx+b．
把點(diǎn)C（3，0）和點(diǎn)B（0，4）代入得：

3k+b=0 b=4

，解得：

k=- 4 3 b=4

．
故直線BC解析式為：y=-

4

3

x+4，
（3）①當(dāng)AB=BC時(shí)，t=3；
②當(dāng)AC=BC時(shí)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，（2t）²=（2t-3）²+4²，解得t=

25

12

；
③當(dāng)AB=AC時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，2t=5，解得t=

5

2

．
（4）存在，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，S_△BCP=2S_△ABC，則S_△BCP=2S_△ABC，
把y=-代入到y(tǒng)=

4

3

x+4中得：-4=

4

3

x+4，解得：x=-6，
則P₁（-6，-4）；
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，S_△BCP=2S_△ABC，則S_△ACP=3S_△ABC，
把y=12代入到y(tǒng)=

4

3

x+4中得：-4=

4

3

x+4，解得：x=6，
則P₂（6，12）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是做題時(shí)要有數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想．