Question

如圖，在⊙O中，弦BC，BD關于直徑AB所在直線對稱．E為半徑OC上一點，OC=3OE，連接AE并延長交⊙O于點F，連接DF交BC于點M．

（1）請依題意補全圖形；

（2）求證：∠AOC=∠DBC；

（3）求的值．

Answer 1

（1）作圖見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意補全圖形；

（2）由弦BC，BD關于直徑AB所在直線對稱，得到 ∠DBC=2∠ABC，又由于∠AOC=2∠ABC，故有∠AOC=∠DBC；

（3）由同弧所對圓周角相等，得到∠A=∠D，從而有△AOE∽△DBM，故，由 OC=3OE，OA =OC，得到，由于 BC=BD，故可得出的值．

試題解析：（1）補全圖形如圖．

（2）證明：∵ 弦BC，BD關于直徑AB所在直線對稱，∴ ∠DBC=2∠ABC，又∵∠AOC=2∠ABC，∴∠AOC=∠DBC；

（3）【解析】
∵，∴ ∠A=∠D，又∵∠AOC=∠DBC，∴ △AOE∽△DBM，∴ ，∵ OC=3OE，OA =OC，∴ ，∵ 弦BC，BD關于直徑AB所在直線對稱，∴ BC=BD，∴ ．

考點：1．圓的認識；2．相似三角形的判定與性質．