Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E、F在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng)，且滿足AE=CF；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C的距離為1時(shí)，則△DEF的面積=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：易證△ADE≌△CDF，△CDE≌△BCF，可得四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半，再計(jì)算△CEF的面積即可解題．

解答：解：①E在線段AC上，
∵在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠A=∠DCF AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS），
∴同理△CDE≌△BDF，
∴四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半，
∵CE=1，∴CF=4-1=3，
∴△CEF的面積=

1

2

CE•CF=

3

2

，
∴△DEF的面積=

1

2

×2

2

×2

2

-

3

2

=

5

2

．
②E'在AC延長(zhǎng)線上，

∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2

2

，
∴∠DCE'=∠DBF'=135°，
∵在△CDE'和△BDF'中，

CD=BD ∠DCE′=∠DBF′ CE′=BF′

，
∴△CDE'≌△BDF'，（SAS）
∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，
∵∠CDE'+∠BDE'=90°，
∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，
∵DE'²=CE'²+CD²-2CD•CE'cos135°=1+8+2×2

2

×

2

2

=13，
∴S_△E'DF'=

1

2

DE'²=

13

2

．
故答案為

13

2

或

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDF和△CDE≌△BCF是解題的關(guān)鍵．