如圖,已知∠AOM=60°,在射線OM上有點B,使得AB與OB的長度都是整數(shù),由此稱B是“完美點”,若OA=8,則圖中完美點B的個數(shù)為(  )
分析:首先過點B作BC⊥OA,交OA于點C,連接AB,可能有兩種情況,垂足在OA上或者垂足在OA延長線上,然后設(shè)OB=y,AB=x,由勾股定理即可求得:y2-(
1
2
y)2=x2-(8-
1
2
y)2或x2-(
1
2
y-4)2=y2-(
1
2
y)2,整理可得x2-(y-4)2=48,然后將原方程轉(zhuǎn)為 X2-Y2=48,先求(X+Y)(X-Y)=48的正整數(shù)解,繼而可求得答案.
解答:解,過點B作BC⊥OA,交OA于點C,連接AB,可能有兩種情況,垂足在OA上或者垂足在OA延長線上.
設(shè)OB=y,AB=x,
∵∠AOM=60°,
∴OC=OB•cos6°=
1
2
y,
∴AC=OA-OC=8-
1
2
y或AC=OC-OA=
1
2
y-8,
∵BC2=OB2-OC2,BC2=AB2-AC2,
∴y2-(
1
2
y)2=x2-(8-
1
2
y)2或x2-(
1
2
y-4)2=y2-(
1
2
y)2
∴x2-(y-4)2=48,
∵x與y是正整數(shù),且y必為正整數(shù),x-4為大于等于-4的整數(shù),
將原方程轉(zhuǎn)為 X2-Y2=48,先求(X+Y)(X-Y)=48的正整數(shù)解,
∵(X+Y)和(X-Y)同奇同偶,
∴(X+Y)和(X-Y)同為偶數(shù);
∴X2-Y2=48可能有幾組正整數(shù)解:
X+Y=24
X-Y=2
X+Y=12
X-Y=4
,
X+Y=8
X-Y=6
,
解得:
X=13
Y=11
X=8
Y=4
,
X=7
Y=1
,
∴x的可能值有3個:x=7,x=8或x=13,
當(dāng)x=7時,y-4=±1,y=3或y=5;
當(dāng)x=8時,y-4=±4,y=8或y=0(舍去);
當(dāng)x=13時,y-4=±11,y=15或y=-7(舍去);
∴共有4組解:
x=7
y=3
x=7
y=5
x=8
y=8
x=13
y=11

故選D.
點評:此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及整數(shù)的綜合應(yīng)用問題.此題難度較大,注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知∠AOM與∠MOB互為余角,且∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度數(shù);
(2)如果已知中∠AOB=80°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(3)如果已知中∠BOC=60°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(4)從(1)、(2)、(3)中你能看出有什么規(guī)律.

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如圖,已知∠AOM與∠MOB互為余角,且∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度數(shù);
(2)如果已知中∠AOB=80°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(3)如果已知中∠BOC=60°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
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如圖,已知∠AOM與∠MOB互為余角,且∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度數(shù);
(2)如果已知中∠AOB=80°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(3)如果已知中∠BOC=60°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
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如圖,已知∠AOM與∠MOB互為余角,且∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度數(shù);
(2)如果已知中∠AOB=80°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(3)如果已知中∠BOC=60°,其他條件不變,求∠MON的度數(shù);
(4)從(1)、(2)、(3)中你能看出有什么規(guī)律.

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