(2008•南充)如圖,已知平面直角坐標(biāo)系xoy中,有一矩形紙片OABC,O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB∥x軸,B(3,),現(xiàn)將紙片按如圖折疊,AD,DE為折痕,∠OAD=30度.折疊后,點(diǎn)O落在點(diǎn)O1,點(diǎn)C落在線(xiàn)段AB點(diǎn)C1處,并且DO1與DC1在同一直線(xiàn)上.
(1)求折痕AD所在直線(xiàn)的解析式;
(2)求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O,C1,C的拋物線(xiàn)的解析式;
(3)若⊙P的半徑為R,圓心P在(2)的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí),求⊙P半徑R的值.

【答案】分析:(1)根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo),也就知道了OA的長(zhǎng),可在直角三角形OAD中,根據(jù)OA的長(zhǎng)和∠OAD的度數(shù)求出OD的長(zhǎng),即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AD的解析式.
(2)本題的關(guān)鍵是求出C1的橫坐標(biāo),可過(guò)C1作x軸的垂線(xiàn),由于∠ADO=∠AOC1=60°,因此可得出∠C1DC=60°,因此可在構(gòu)建的直角三角形中用BC的長(zhǎng)和∠C1DC的度數(shù)來(lái)求出C1的坐標(biāo),進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式.
(3)由于圓P與兩坐標(biāo)軸都相切,如果設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x、y),則有|x|=|y|,進(jìn)而可聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo).也就得出了圓的半徑的長(zhǎng).
解答:解:(1)由已知得
OA=,∠OAD=30度.
∴OD=OA•tan30°==1,
∴A(0,),D(1,0)
設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b.
把A,D坐標(biāo)代入上式得:

解得:,
折痕AD所在的直線(xiàn)的解析式是y=-x+

(2)過(guò)C1作C1F⊥OC于點(diǎn)F,
由已知得∠ADO=∠ADO1=60°,
∴∠C1DC=60°.
又∵DC=3-1=2,
∴DC1=DC=2.
∴在Rt△C1DF中,C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=
則DF=DC1=1,
∴C1(2,),而已知C(3,0).
設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O,C1,C的拋物線(xiàn)的解析式是y=ax2+bx+c,(a≠0).
把O,C1,C的坐標(biāo)代入上式得:,
解得,
∴y=-x2+x為所求.

(3)設(shè)圓心P(x,y),則當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí),有y=±x.
由y=x,得-x2+x=x,解得x1=0(舍去),
由y=-x,得-x2+x=-x解得x1=0(舍去),
∴所求⊙P的半徑R=3-或R=3+
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)、解直角三角形、切線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).綜合性較強(qiáng).
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