(1999•海淀區(qū))已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,其中a>0,b2-4a2c2=0,它的圖象與x軸只有一個交點,交點為A,與y軸交于點B,且AB=2.
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)當b<0時,過A的直線y=x+m與二次函數(shù)的圖象交于點C,在線段BC上依次取D、E兩點,若DE2=BD2+EC2,試確定∠DAE的度數(shù),并簡述求解過程.
【答案】分析:(1)由于拋物線與x軸只有一個交點,那么根的判別式△=0,聯(lián)立b2-4a2c2=0,即可求出b的值及ac的關(guān)系式;將b的值代入拋物線的解析式中,即可用a、c表示出A、B的坐標,在Rt△OAB中,根據(jù)勾股定理可得到另一個關(guān)于a、c的關(guān)系式,聯(lián)立上面所得的a、c的關(guān)系式,即可得到a、c的值;由此可求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)(1)題所得的b<0時拋物線的解析式,可求出A、B的坐標;根據(jù)A點的坐標即可求出直線y=x+m的解析式,進而可得到C點的坐標;若過C作CF⊥x軸于F,根據(jù)B、A、C的坐標,易證得△OAB、△BAC、△CAF都是等腰Rt△;在CF上截取CM=BD,易證得△ABD≌△ACM,可得AD=AM;已知DE2=BD2+EC2,在Rt△CEM中,根據(jù)勾股定理有:EC2+CM2=EM2,等量代換后可得到DE=ME,由此可證得△DAE≌△MAE,得∠DAE=∠EAM;而∠BAD=∠CAM,即∠BAC=∠DAM=90°,由此可得到∠DAE=45°.
解答:解法一:(1)∵y=ax2+bx+c的圖象與x軸只有一個交點,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根,
∴△=b2-4ac=0,(1分)
又∵b2-4a2c2=0,
∴4a2c2=4ac≥0,
由AB=2,得A與B不重合,
又∵a>0,
∴c>0,
∴ac=1,(1)
∴b2=4解得b=±2,(2分)
∴二次函數(shù)與x軸,y軸交點坐標為A(,0)B(0,c)或A(-,0)B(0,c),
在Rt△ABO中,OA2+OB2=AB2,OA=,0B=c,AB=2,
∴(2+c2=4,
整理得1+a2c2=4a2;(2)
把(1)代入(2),
解得a=或a=-(舍),
把a=代入(1)
得c=,(4分)
∴二次函數(shù)解析式為y=x2+2x+或y=x2-2x+.(5分)

(2)當b<0時,由二次函數(shù)的解析式得A(,0)B(0,),(6分)
又∵直線y=x+m過點A(,0),
∴m=-,y=x-,

解得,直線與二次函數(shù)圖象交點C的坐標為(2,),(8分)
過C點作CF⊥x軸,垂足為F,可推得AB=AC,∠BAC=90°(如圖所示)(9分)
在CF上截取CM=BD,連接EM、AM,則EC2+CM2=EM2,
∵CE2+BD2=DE2
∴EM=DE,
可證△ABD≌△ACM,
從而可證△DAE≌△MAE,(10分)
∴∠DAB=∠CAM,∠DAE=∠EAM,
∴∠DAM=∠BAC=90°,
∴∠DAE=45°.(11分)

解法二:(1)∵y=ax2+bx+c的圖象與x軸只有一個交點,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根,
∴△=b2-4ac=0,(1分)
∵b2-4a2c2=0,
∴b=±2ac,
∴b2±2b=0,
解得b=2,b=0;b=-2,b=0,
∵b=0時,A與B兩點重合
∴b=0舍去.(2分),
以下同解法一.
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題型,涉及到根的判別式、勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標的求法以及全等三角形的判定和性質(zhì)等重要知識,能夠正確地構(gòu)建與已知和所求相關(guān)的全等三角形是解答(2)題的關(guān)鍵.
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