【題目】已知拋物線(xiàn)與x軸交于A.B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0).
(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖1,連接AC,BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,求∠E的度數(shù);
(3)如圖2,已知點(diǎn)P(﹣4,0),點(diǎn)Q在x軸下方的拋物線(xiàn)上,直線(xiàn)PQ交線(xiàn)段AC于點(diǎn)M,當(dāng)∠PMA=∠E時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣4)。
(2)∠E=45°
(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,﹣3)或(,)。
【解析】
(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到拋物線(xiàn)的解析式求得c值,然后配方后即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
(2)連接CD、CB,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F,首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA,根據(jù)∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,得到∠E=∠OCB=45°。
(3)設(shè)直線(xiàn)PQ交y軸于N點(diǎn),交BD于H點(diǎn),作DG⊥x軸于G點(diǎn),增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質(zhì)求得ON的長(zhǎng),從而求得點(diǎn)N的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線(xiàn)PQ的解析式,設(shè)Q(m,n),根據(jù)點(diǎn)Q在直線(xiàn)PQ和拋物線(xiàn)上,得到,求得m、n的值后即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)。
解:(1)把x=﹣1,y=0代入得:1+2+c=0,∴c=﹣3。
∴。
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣4)。
(2)如圖1,連接CD、CB,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F,
由解得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。
當(dāng)x=0時(shí),,∴C(0,﹣3)。
∴OB=OC=3。
∵∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,BC=。
又∵DF=CF=1,∠CFD=90°,
∴∠FCD=45°,CD=。
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°
∴∠BCD=∠COA。
又∵,∴△DCB∽△AOC。
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB,∴∠E=∠OCB=45°。
(3)如圖2,設(shè)直線(xiàn)PQ交y軸于N點(diǎn),交BD于H點(diǎn),作DG⊥x軸于G點(diǎn),
∵∠PMA=45°,∴∠EMH=45°。∴∠MHE=90°。
∴∠PHB=90°。∴∠DBG+∠OPN=90°。
又∵∠ONP+∠OPN=90°,∴∠DBG=∠ONP。
又∵∠DGB=∠PON=90°,∴△DGB=∠PON=90°。
∴△DGB∽△PON。
∴,即,解得ON=2。
∴N(0,﹣2)。
設(shè)直線(xiàn)PQ的解析式為y=kx+b,
則,解得:。
∴直線(xiàn)PQ的解析式為。
設(shè)Q(m,n)且n<0,∴。
又∵Q(m,n)在上,∴。
∴,解得:m=2或m=。
∴n=﹣3或n=。
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,﹣3)或(,)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E,連接OE交BC于點(diǎn)F,已知AB=6,BC=8,CE=2
(1)求CF的長(zhǎng).
(2)設(shè)△COF的面積為S1,△COD的面積為S2,直接寫(xiě)出S1:S2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn),連接,為一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在如圖所示的位置時(shí),連接,求證:;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在如圖所示的位置時(shí),連接,則之間的關(guān)系如何,你得出的結(jié)論是 .(只寫(xiě)結(jié)果,不用寫(xiě)證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,4),(0,﹣4),點(diǎn)C是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BH⊥AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸,交BH于點(diǎn)D,點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)D不可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是( 。
A. (2,﹣3) B. (1,﹣3) C. (4,0) D. (0,﹣4)
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上.將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△AB′C′.
(1)在正方形網(wǎng)格中,畫(huà)出△AB′C′;
(2)計(jì)算線(xiàn)段AB在變換到AB′的過(guò)程中掃過(guò)的區(qū)域的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如表:
x | … | ﹣5 | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | … |
y | … | 4 | 0 | ﹣2 | ﹣2 | 0 | 4 | … |
下列說(shuō)法正確的是( 。
A. 拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下
B. 當(dāng)x>﹣時(shí),y隨x的增大而增大
C. 二次函數(shù)的最小值是﹣2
D. 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題6分)為了參加中考體育測(cè)試,甲,乙,丙三位同學(xué)進(jìn)行足球傳球訓(xùn)練。球從一個(gè)人
腳下隨機(jī)傳到另一個(gè)人腳下,且每位傳球人傳球給其余兩人的機(jī)會(huì)是均等的,由甲開(kāi)始傳球,共傳三次。
(1)求請(qǐng)用樹(shù)狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況;
(2)傳球三次后,球回到甲腳下的概率;
(3)三次傳球后,球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年10月,吉州區(qū)井岡蜜柚節(jié)迎來(lái)了四方游客,游客李先生選購(gòu)了井岡蜜柚和井岡板栗各一箱需要200元.他還準(zhǔn)備給4位朋友每人送同樣的井岡蜜柚一箱,6位同事每人送同樣的井岡板栗一箱,就還需要1040元.
(1)求每箱井岡蜜柚和每箱井岡板栗各需要多少元?
(2)李先生到收銀臺(tái)才得知井岡蜜柚節(jié)期間,井岡蜜柚可以享受6折優(yōu)惠,井岡板栗可以享受8折優(yōu)惠,此時(shí)李先生比預(yù)計(jì)的付款少付了多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】林場(chǎng)要建一個(gè)果園(矩形ABCD),果園的一面靠墻(墻最大可用長(zhǎng)度為30米),另三邊用木欄圍成,中間EF也用木欄隔開(kāi),分為甲、乙兩個(gè)場(chǎng)地,并在如圖所示的三處各留1米寬的門(mén)(不用木欄),木欄總長(zhǎng)57米.設(shè)果園(矩形ABCD)的寬AB為x米,矩形ABCD的面積為S平方米.
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.
(2)求果園能達(dá)到的最大面積S及相應(yīng)x的值.
(3)若木欄BF比CF多10米,其余條件不變,甲場(chǎng)地種植葡萄,一季平均每平方米收益40元;乙場(chǎng)地種植益莓,一季平均每平方米收益160元.問(wèn)該果園一季能達(dá)到的最大收益W為多少元?
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