Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E．
（1）求證△BPD∽△CEP．
（2）是否存在這樣的位置，使PD⊥DE？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）先由AB=AC，得出∠B=∠C，再根據(jù)角的和差及三角形外角的性質(zhì)得出∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，又∠DPE=∠B，那么∠EPC=∠BDP，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明△BPD∽△CEP；
（2）作AH⊥BC于H．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BH=HC=

1

2

BC=3．在Rt△ABH和Rt△PDE中，由∠B=∠DPE，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到

BH

AB

=

PD

PE

=

3

5

，
由（1）△BPD∽△CEP，得出

BD

CP

=

PD

PE

=

3

5

，又PC=BC-BP=6-2=4，那么BD=

12

5

．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，∠DPE=∠B，
∴∠EPC=∠BDP．
在△BPD與△CEP中，

∠B=∠C ∠BDP=∠CPE

，
∴△BPD∽△CEP；

（2）作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，AH⊥BC于H，
∴BH=HC=

1

2

BC=3．
∵在Rt△ABH和Rt△PDE中，∠B=∠DPE，
∴cos∠B=cos∠DPE，
∴

BH

AB

=

PD

PE

=

3

5

，
∵△BPD∽△CEP，
∴

BD

CP

=

PD

PE

=

3

5

，
又∵PC=BC-BP=6-2=4，
∴BD=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．