Question

閱讀材料：在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和（0， ）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)的面四民﹒數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)捐款情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，速度分別為1， ，2（單位長(zhǎng)度/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開(kāi)始以 （單位長(zhǎng)度/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過(guò)程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線解析式是_____________；
（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______________��；當(dāng)t=____________　 　，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；
（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．則
，
解得，
故直線AB的解析式為：y=﹣x+3；
（2）∵A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，），
∴AO=3，OB=3 ， ∴tAO=3÷1=3（秒），tOB=4﹣3=1（秒），
∴P（0，）；根據(jù)題意知，點(diǎn)P與點(diǎn)E在OB上重合，
則=+，即=3+，
解得，OE=，
∴t=÷=，即t=；
 （3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過(guò)F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG，
又∵OE=FG= t，∠A=60°，
∴AG=FG tan60°=t；
而AP=t，
∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG= t，由3﹣t= t，得 t=
當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，過(guò)P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE= t，
∴BE=3﹣t，
∴EF=BEtan60°=3﹣
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t﹣6）在Rt△BMP中，BPcos60°=MP即2（t﹣6）=，解得t=．