Question

已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五個(gè)點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+k（a＞0）經(jīng)過(guò)其中的三個(gè)點(diǎn)．
（1）求證：C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+k（a＞0）上嗎？為什么？
（3）求a和k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+k可知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，而C（-1，2），E（4，2）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，應(yīng)該關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，但C（-1，2）與對(duì)稱(chēng)軸相距2，E（4，2）與對(duì)稱(chēng)軸相距3，故不可能；
（2）假設(shè)A點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，得出矛盾排除A點(diǎn)在拋物線(xiàn)上；
（3）B、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，一定在拋物線(xiàn)上，另外一點(diǎn)可能是C點(diǎn)或E點(diǎn)，分別將C、D或D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求a和k的值．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+k的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
而C（-1，2），E（4，2）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，C、E關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
又∵C（-1，2）與對(duì)稱(chēng)軸相距2，E（4，2）與對(duì)稱(chēng)軸相距3，
∴C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線(xiàn)上；

（2）假設(shè)點(diǎn)A（1，0）在拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+k（a＞0）上，
則a（1-1）²+k=0，解得k=0，
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)經(jīng)過(guò)5個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，
將B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，
得出a的值分別為a=-1，a=，a=-1，a=，
所以?huà)佄锞�(xiàn)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是B，D，
又因?yàn)閍＞0，與a=-1矛盾，
所以假設(shè)不成立．
所以A不在拋物線(xiàn)上；

（3）將D（2，-1）、C（-1，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，得
，
解得，
或?qū)�E、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，得
，
解得，
綜上所述，或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．關(guān)鍵是明確圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿(mǎn)足函數(shù)解析式．