【題目】如圖所示,某教學(xué)活動小組選定測量小山上方某信號塔PQ的高度,他們在A處測得信號塔頂端P的仰角為45°,信號塔低端Q的仰角為31°,沿水平地面向前走100米到處,測得信號塔頂端P的仰角為68°.求信號塔PQ的高度.(結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin68°≈ 0.93,cos68° ≈ 0.37,tan68° ≈ 2.48,tan31° ≈ 0.60,sin31° ≈ 0.52,cos31°≈0.86)

【答案】信號塔PQ的高度約為67.0米

【解析】延長PQ交直線AB于點E,連接AQ,設(shè)PM的長為x米,先由三角函數(shù)得出方程求出PM,再由三角函數(shù)求出QM,得出PQ的長度即可.

解:延長PQ交直線AB于點M,

則∠PMA=90°,設(shè)PM的長為x米,根據(jù)題意,

得∠PAM=45°,∠PBM=68°,∠QAM=31°,

AB=100,∴在Rt△PAM中,AMPMx

BMAM-ABx-100,

在Rt△PBM中,∵tan∠PBM,

即tan68°=

解得x ≈ 167.57.∴AMPM ≈ 167.57.

在Rt△QAM中,∵tan∠QAM,

QMAM·tan∠QAM=167.57×tan31°≈100.54.

PQPM-QM=167.57100.54≈67.0(米).

因此,信號塔PQ的高度約為67.0

“點睛”本題考查直角三角形的應(yīng)用、三角函數(shù);由三角函數(shù)得出方程是解決問題的關(guān)鍵,注意掌握當兩個直角三角形有公共邊時,先求出這條公共邊的邊長是解答此類題的一般思路.

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