Question

設(shè)關(guān)于x的二次方程（a-1）x²-（a²+a+1）x+2a²+a=0當(dāng)a    時(shí)，此方程至少有一個(gè)正整數(shù)解；當(dāng)a    時(shí)，此方程有兩個(gè)正整數(shù)解；當(dāng)a    時(shí)，此方程有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解．

Answer 1

【答案】分析：運(yùn)用十字相乘法分解一元二次方程，然后得出方程的根，利用特殊值法可以解決方程有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解以及方程有兩個(gè)正整數(shù)解的情況．
解答：解：原方程變形為[（a-1）x-（2a+1）]（x-a）=0
當(dāng)a=1時(shí)，原方程只有一個(gè)根x=a；當(dāng)a≠1時(shí)，其二根為，因此，
（1）當(dāng)a為任何正整數(shù)時(shí)，方程至少有一個(gè)正整數(shù)根，
（2）要使方程二根均為正整數(shù)，由于，所以，當(dāng)a為正整數(shù)，只要3能被a-1整除，則x₂是正整數(shù)，故只須取a=2或a=4即可，當(dāng)a=2時(shí)，方程有兩個(gè)正整數(shù)根x₁=2，x₂=5；
當(dāng)a=4時(shí)，方程有兩個(gè)正整數(shù)根x₁=4，x₂=3；
（3）當(dāng)x₁=a為負(fù)整數(shù)時(shí)，由a-1＜0，2a+1＜0，∴，為正數(shù)，∴無論a取何值，方程兩根不會(huì)是負(fù)整數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了十字相乘法解一元二次方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大，題目比較典型．