Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x²+px+q=0的兩個(gè)根．
（1）求實(shí)數(shù)p、q應(yīng)滿(mǎn)足的條件；
（2）若p、q滿(mǎn)足（1）的條件，方程x²+px+q=0的兩個(gè)根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦？

Answer 1

解：（1）∵sinA、sinB是方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，
∴sinA+sinB=-p，即sinA+cosA=-p，
∴sin（A+45°）=-p
∵0°＜A＜90°，
∴1＜-p≤，
∴-≤p＜-1
∵sinA•sinB=q，即sinA•cosA=q，
∴sin2A=2q，
∴0＜q＜，
∵sin²A+sinB²=（sinA+sinB）²-2sinA•sinB
∴p²-2q=1，
∴實(shí)數(shù)p、q應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：p²-2q=1，∴-≤p＜-1，0＜q≤．
（2）∵0＜q≤，設(shè)sin2A=2q，
則2A=2a，或180°-2a，
即A=a或90°-a，
∵sina和sin（90°-a）是方程的兩根，即它們是直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦值．
分析：（1）根據(jù)sinA+cosA=sin（A+45°），sinA•cosA=sin2A，以及根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到關(guān)于p，q的不等式，以及
sin²A+sinB²=1，即可求得p，q的關(guān)系．
（2）根據(jù)（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，證明A的值可以取互余的兩個(gè)角的度數(shù)，即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題是一元二次方程與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，正確理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．