Question

已知A為拋物線的頂點，B為該拋物線與y軸的交點，C為x軸上一點．設(shè)線段BC、AC、AB的長度分別為a、b、c，當a+c=2b時，求：
（1）經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式；
（2）三角形ABC的面積．

Answer 1

解：（1）∵=（x-1）²，
∴A點坐標為：（1，0），
∵B為該拋物線與y軸的交點，
∴x=0時，y=，即B點坐標為：（0，），
當C點在A點右側(cè)，設(shè)C點坐標為：（x，0），
則AC=x-1，AB==2，BC=，
∵a+c=2b，
∴2（x-1）=2+，
整理得出：3x²-16x+13=0，
解得：x₁=，x₂=1（此時A，C重合不合題意舍去），
如圖所示：
當C′點在A點左側(cè)，設(shè)C′點坐標為：（z，0），
則AC′=1-z，AB==2，BC′=，
∵a+c=2b，
∴2（1-z）=2+，
整理得出：3z²=3，
解得：x₁=-1，x₂=1（此時A，C重合不合題意舍去），
∴C點坐標為：（-1，0）或（，0），
∴當B點坐標為：（0，），
C點坐標為：（-1，0），
帶入解析式y(tǒng)=kx+b，
，
解得：，
∴經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式為：y=x+，
∴當B點坐標為：（0，），
C點坐標為：（，0），
帶入解析式y(tǒng)=ax+c，

解得：，
∴經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式為：y=-x+；

（2）∵當B點坐標為：（0，），C點坐標為：（-1，0）時，
∴AC′=2，∴S_△ABC=BO×AC′=×2×=，
當B點坐標為：（0，），C點坐標為：（，0）時，
∴AC=-1=，
∴S_△ABC=BO×AC=××=．
分析：（1）首先求出二次函數(shù)的頂點坐標以及圖象與y軸交點坐標，進而假設(shè)出C點位置，利用C點可能在A點右側(cè)或左側(cè)分別求出C點坐標即可；
（2）根據(jù)（1）中所求得出三角形ABC的面積即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積求法等知識，根據(jù)分類討論的思想得出C點坐標是解題關(guān)鍵．