Question

．已知平面直角坐標系xOy中, 拋物線與直線的一個公共點為.
（1）求此拋物線和直線的解析式；
（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；
（3）記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積.

Answer 1

解：（1）由題意，可得及，解得，
所以，拋物線的解析式為，直線的解析式為……………………2分
（2）設點P的坐標為，可得點Q的坐標為，則
       
所以，當時，的長度取得最大值為4.………………………………4分
（3）易知點M的坐標為（1，-1）.過點M作直線OA的平行線交拋物線于點N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形.直線MN可看成是由直線OA向下平移b個單位得到，所以直線MN的方程為.因為點M在直線上，解得b =3,即直線MN的方程為，將其代入，可得

即   
解得 ，
易得 ，
所以，直線MN與拋物線的交點N的坐標為（3,3）.  …………5分
如圖，分別過點M、N作y軸的平行線交直線OA于點G、H，

顯然四邊形MNHG是平行四邊形.可得點G（1,2），H（3,6）.



所以，梯形AOMN的面積. ……………………7分

解析