Question

如圖1，已知直線y=-x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．

（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：______；
（2）設(shè)點(diǎn)P是射線y=x（x＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，M是OP的中點(diǎn)（O是原點(diǎn)），以PM為對(duì)角線作正方形PDME．正方形PDME與△OAB公共部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．（圖2、3供你探索問題時(shí)使用）

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即B（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（4，0）．
故答案為（4，0），（0，4）；

（2）設(shè)點(diǎn)P（t，t），則點(diǎn)M（，），點(diǎn)D（t，）．
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，t=-t+4，解得t=2；
當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上時(shí)，=-+4，解得t=4；
當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)E也在直線AB上），=-t+4，解得t=．
分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1．
S=S_{正方形PDME}=DM•PD=（）²=t²，
當(dāng)t=2時(shí)，Smax=1；

②當(dāng)2＜t＜時(shí)，如圖2，設(shè)直線AB與PD、PE分別交于點(diǎn)C、H．
此時(shí)PC=t-（-t+4）=2t-4，又PH=PC，
所以S_△PCH=PC²=2（t-2）²；
從而S=S_{正方形PDME}-S_△PCH=t²-2（t-2）²=-t²+8t-8=-（t-）²+，
因?yàn)?≤＜，
所以當(dāng)t=時(shí)，S_max=；

③當(dāng)≤t＜4時(shí)，如圖3，設(shè)直線AB與MD、ME分別交于點(diǎn)F、G．
此時(shí)MG=（-+4）-=-t+4，又MG=MF，
所以S_△MGF=MG²=（t-4）²，
即S=S_△MGF=（t-4）²，
當(dāng)t=時(shí)，S_max=；

④當(dāng)t≥4時(shí)，顯然S=0．

綜合①②③④得：當(dāng)t=時(shí)，S_max=．
分析：（1）由直線y=-x+4交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，即可求得A，B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P（t，t），則點(diǎn)M（，），點(diǎn)D（t，）．先求出當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，t=2；當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上時(shí)，t=4；當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，t=．然后分四種情況進(jìn)行討論：①0＜t≤2；②2＜t＜；③≤t＜4；④t≥4．針對(duì)每一種情況，分別求出正方形PDME與△OAB公共部分的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出S的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)最大值的確定以及圖形面積的求法等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．