Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=

10

，BC=5，點E在BD上，且∠BAE=∠DBC．設(shè)BD=x，AD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),梯形

專題：計算題

分析：由AD與BC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出一對角相等，再由已知的兩角相等，利用等量代換可得出∠BAE=∠BDA，再由∠ABE為公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得出三角形ABE與三角形BDA相似，根據(jù)相似得比例，將AB的值，及BD=x代入，用x表示出BE，用BD-BE表示出DE，再由梯形為等腰梯形，得到同一底上的兩個角相等，由∠BAE=∠BDA，利用等式的性質(zhì)得到∠EAD=∠CDB，再加上一對公共角相等，可得出三角形DAE與三角形BDC相似，由相似得比例，將BD=x，AD=y，BC的值，以及表示出的DE代入比例式，可得出y與x的關(guān)系式，并根據(jù)線段的長度大于0，梯形的上底小于下底，以及三角形的兩邊之和大于第三邊，可得出自變量x的取值范圍．

解答：解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=DBC，
∵∠BAE=∠DBC，
∴∠BAE=∠BDA，…（1分）
∵∠ABE是公共角，
∴△BAE∽△BDA，…（2分）
∴

BA

BD

=

BE

BA

，又AB=

10

，BD=x，
∴

10

x

=

BE

10

，
∴BE=

10

x

，…（5分）
∴DE=x-

10

x

，…（6分）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，又∠BAE=∠BDA，
∴∠BAD-∠BAE=∠CDA-∠BDA，即∠EAD=∠CDB，…（7分）
又∵∠ADE=∠DBC，
∴△DAE∽△BDC，…（8分）
∴

DA

BD

=

DE

BC

，又BD=x，AD=y，BC=5，DE=x-

10

x

，
∴

y

x

=

x- 10 x

5

，…（10分）
∴y=

x2-10

5

=

1

5

x²-2．…（11分）
定義域為5-

10

＜x＜5+

10

，且x≠

35

．…（13分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，以及三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．