Question

（2013•蘇州）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB′F．設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．
（1）當(dāng)t=

2.5

s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；
（3）本問為存在型問題．假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在．

解答：解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；

（2）分兩種情況，討論如下：
①若△EBF∽△FCG，
則有

EB

FC

=

BF

CG

，即

10-t

12-3t

=

3t

1.5t

，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
則有

EB

CG

=

BF

FC

，即

10-t

1.5t

=

3t

12-3t

，
解得：t=-14-2

69

（不合題意，舍去）或t=-14+2

69

．
∴當(dāng)t=2.8s或t=（-14+2

69

）s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似．

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．
如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M=

1

2

BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM²+FM²=OF²，
即：5²+（6-3t）²=（3t）²
解得：t=

61

36

；

過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON²+EN²=OE²，
即：6²+（5-t）²=（10-t）²
解得：t=3.9．
∵

61

36

≠3.9，
∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．

點(diǎn)評(píng)：本題為運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對(duì)稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)．題目并不復(fù)雜，但需要仔細(xì)分析題意，認(rèn)真作答．第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在．