Question

如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，以下結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；④S_△ABE=3S_△AGE．其中，正確的有________．

Answer 1

①、②、③、④
分析：①在?ABCD中，由于E、F分別是AD、BC的中點，容易推出四邊形BFDE是?，最后得到BE=DF，說明①是正確的；
②由于BE∥DF，在△ADH中，E是AD邊的中點，根據(jù)中位線定理可以證明AG=GH，同理可證CH=GH，即AG=GH=HC，②是正確的；
③由②的結(jié)論可判斷EG=DH，再根據(jù)前面的條件及結(jié)論可判斷△ADH≌△CBG，則BG=DH，故EG=BG，③是正確的；
④在△ABE與△AGE中，分別以BE、GE為底邊時，則它們的高相等，面積之比即為底邊BE與GE之比，根據(jù)③的結(jié)論，BE：GE=1：3，由此可以判定④是正確的．
解答：①在?ABCD中，∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴ED∥BF，ED=BF，
∴四邊形BFDE是?，
∴BE=DF，
∴①是正確的；
②∵BE∥DF，在△ADH中，E是AD邊的中點，
∴G是AH邊的中點，
∴AG=GH，
同理可證CH=GH，
即AG=GH=HC，
∴②是正確的；
③由②的結(jié)論可判斷EG=DH，
再根據(jù)已知條件及結(jié)論得AD=BC，AH=CG，∠DAC=∠BCG，
∴△ADH≌△CBG，
∴BG=DH，
故EG=BG，
∴③是正確的；
④在△ABE與△AGE中，分別以BE、GE為底邊時，
∴它們的高相等，面積之比即為底邊BE與GE之比，
根據(jù)③的結(jié)論，BE：GE=1：3，
∴S_△ABE=3S_△AGE，
∴④是正確的．
故填空答案：①、②、③、④．
點評：解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)及判定定理結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)的計算和證明．