Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當(dāng)點P到達(dá)點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設(shè)點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．

（1）當(dāng)t=　_________　s時，點P與點Q重合；

（2）當(dāng)t=　_________　s時，點D在QF上；

（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）1    （2）     （3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，

∴t+t=2，解得t=1s，

故填空答案：1．

（2）當(dāng)點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．

∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，

∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t．

由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．

故填空答案：．

（3）當(dāng)P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；

當(dāng)D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進(jìn)一步分析可知此時點E與點F重合；

當(dāng)點P到達(dá)B點時，此時t=2．

因此當(dāng)P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運動過程可分析如下：

①當(dāng)1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．

此時AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；

易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．

∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，

∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．

S=S_梯形PDGQ=（PQ+DG）?PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]?t=t²﹣2t；

②當(dāng)＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．

此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，

易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，

∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．

又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．

S=S_{正方形APDE}﹣S_△AQF﹣S_△DMN=AP²﹣AQ?AF﹣DN?DM

=t²﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）

=﹣t²+10t﹣8．

綜上所述，當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=．

考點：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

點評：本題是運動型綜合題，涉及到動點與動線問題．第（1）（2）問均涉及動點問題，列方程即可求出t的值；第（3）問涉及動線問題，是本題難點所在，首先要正確分析動線運動過程，然后再正確計算其對應(yīng)的面積S．本題難度較大，需要同學(xué)們具備良好的空間想象能力和較強(qiáng)的邏輯推理能力．