【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點(diǎn),以BP為邊作正方形BPEF,使點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上,連接EA、EC.
(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,求證:EA=EC;
(2)若點(diǎn)P在線段AB上.
①如圖2,連接AC,當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí),判斷△ACE的形狀,并說明理由;
②如圖3,設(shè)AB=a,BP=b,當(dāng)EP平分∠AEC時(shí),求a:b及∠AEC的度數(shù).
【答案】(1)詳見解析;(2)△ACE為直角三角形,理由見解析;(3)∠AEC=45°.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理易證△APE≌△CFE,由全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論;(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)即可判定△ACE為直角三角形;②根據(jù)PE∥CF,得到,代入a、b的值計(jì)算求出a:b,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG,證明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC的度數(shù).
試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AC
∵四邊形BPEF為正方形
∴∠P=∠F=90°,PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中:EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
(2)①∵P為AB的中點(diǎn),
∴PA=PB,又PB=PE,
∴PA=PE,
∴∠PAE=45°,又∠DAC=45°,
∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;
②∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,
∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a
∵PE∥CF,
∴,即,
解得,a=b;
作GH⊥AC于H,
∵∠CAB=45°,
∴HG=AG=×(2b﹣2b)=(2﹣)b,又BG=2b﹣a=(2﹣)b,
∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,
∴∠HCG=∠BCG,
∵PE∥CF,
∴∠PEG=∠BCG,
∴∠AEC=∠ACB=45°.
∴a:b=:1;∴∠AEC=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸(兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行),某蔬菜公司收購(gòu)蔬菜進(jìn)行銷售的獲利情況如下表所示:
銷售方式 | 直接銷售 | 粗加工后銷售 | 精加工后銷售 |
每噸獲利(元) | 100 | 250 | 450 |
(1)現(xiàn)在該公司收購(gòu)了140噸蔬菜,如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜,請(qǐng)完成下列表格:
銷售方式 | 全部直接銷售 | 全部粗加工后銷售 | 盡量精加工,剩余部分直接銷售 |
獲利(元) |
(2)如果先進(jìn)行精加工,然后進(jìn)行粗加工,要求15天剛好加工完140噸蔬菜,則應(yīng)如何分配加工時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某樓盤2016年房?jī)r(jià)為每平方米15600元,經(jīng)過兩年連續(xù)降價(jià)后,2018年房?jī)r(jià)為每平方米12400元。設(shè)該樓盤這兩年房?jī)r(jià)每年平均降低率為x,根據(jù)題意可列方程為( )
A. 15600(1-2x)=12400 B. 2×15600(1-2x)=12400
C. 15600(1-x)2=12400 D. 15600(1-x2)=12400
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的,已知三角形ABC中任意一點(diǎn)P(x0,y0)經(jīng)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1(x0-6,y0-2).
(1)已知A(2,6),B(1,3),C(5,3),Q(3,5),請(qǐng)寫出A1,B1,C1,Q1的坐標(biāo);
(2)試說明三角形A1B1C1是如何由三角形ABC得到的?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,∠1與∠2互補(bǔ).
(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P,EP與CD交于點(diǎn)G,點(diǎn)H是MN上一點(diǎn),且GH⊥EG,求證:PF∥GH;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接PH,K是GH上一點(diǎn)使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)求出其值;若變化,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種商品原價(jià)每件m元,第一次降價(jià)打八折,第二次再次降價(jià)每件減10元,第二次降價(jià)后的售價(jià)( )
A. 0.8m元 B. (0.8m-10)元C. 0.8(m-10)元D. (m-10)元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列二次函數(shù)中,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0),且開口方向、形狀與y=-x2的圖象相同的是( )
A.y=(x-5)2B.y=x2-5C.y=-(x+5)2D.y=(x+5)2
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