Question

已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF＝60°，連接CF．

（1）如圖①，當點D在邊BC上時，求證：①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；

（2）如圖②，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖③，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系是AC=CF-CD，（3）AC=CD-CF．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

試題解析：（1）證明：∵菱形AFED，

∴AF=AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，

即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）【解析】
AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系是AC=CF-CD，

理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，

∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，

即AC=CF-CD．

（3）AC=CD-CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴CD-CF=CD-BD=BC=AC，

即AC=CD-CF．

考點：1.全等三角形的判定與性質；2.等邊三角形的性質．