【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點B落在CD邊上的P點處.如圖,已知折痕與邊BC交于O,連結(jié)AP、OP、OA.

①求證:OCP∽△PDA;

②若OCP與PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.

【答案】(1)見試題解析;(2)AB的長為10.

析】

試題分析:①只需證明兩對對應(yīng)角分別相等即可證到兩個三角形相似;

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長以及AP與OP的關(guān)系,然后在RtPCO中運用勾股定理求出OP長,從而求出AB長.

試題解析:四邊形ABCD是矩形,

AD=BC,DC=AB,DAB=B=C=D=90°.

由折疊可得:AP=AB,PO=BO,PAO=BAO,APO=B.

∴∠APO=90°.

∴∠APD=90°﹣CPO=POC.

∵∠D=C,APD=POC.

∴△OCP∽△PDA.

∵△OCP與PDA的面積比為1:4,==

PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.AD=8,CP=4,BC=8.

設(shè)OP=x,則OB=x,CO=8﹣x.

在RtPCO中,

∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,

x2=(8﹣x)2+42

解得:x=5.

AB=AP=2OP=10.

邊AB的長為10.

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