Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O(如圖)，△ABC可以繞點(diǎn)O作任意角度的旋轉(zhuǎn)．

(1)　當(dāng)點(diǎn)B在第一象限，縱坐標(biāo)是時(shí)，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；

(2)　如果拋物線(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，請(qǐng)你探究：

①　當(dāng)，，時(shí)，A，B兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上？并說(shuō)明理由；

②　設(shè)b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上？若存在，直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解：(1)　 ∵　點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，　∴　．                         

設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是x(x>0)，則，                                         

解得　，(舍去)． 

∴　點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是．                                                                      

(2)�、佟‘�(dāng)，，時(shí)，得　　

．                                                                       

以下分兩種情況討論．

情況1：設(shè)點(diǎn)C在第一象限(如圖甲)，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，

．            

由此，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)，   

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，

∵　A， B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴　點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)．

將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入(＊)式右邊，計(jì)算得，即等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；

將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入(＊)式右邊，計(jì)算得，即等于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)．

∴　在這種情況下，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上．                                       

情況2：設(shè)點(diǎn)C在第四象限(如圖乙)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，-)，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)．

經(jīng)計(jì)算，A，B兩點(diǎn)都不在這條拋物線上．                   　                         　

(情況2另解：經(jīng)判斷，如果A，B兩點(diǎn)都在這條拋物線上，那么拋物線將開(kāi)口向下，而已知的拋物線開(kāi)口向上．所以A，B兩點(diǎn)不可能都在這條拋物線上)

②　存在．m的值是1或-1．                                                                  

(，因?yàn)檫@條拋物線的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，所以-1≤m≤1．當(dāng)m=±1時(shí)，點(diǎn)C在x軸上，此時(shí)A，B兩點(diǎn)都在y軸上．因此當(dāng)m=±1時(shí)，A，B兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上)