Question

我們知道：對于任何實數(shù)x，①∵x²≥0，∴x²+1＞0；   ②∵（x-1）²≥0，∴x²-2x+

3

2

=（x-1）²+

1

2

＞0；模仿上述方法解答：
（1）求證：對于任何實數(shù)x，總有：2x²+4x+3＞0；
（2）我們還知道，如果a-b＞0，那么a＞b，運用這條性質，求證：不論x為何實數(shù)，多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-7的值．

Answer 1

分析：（1）將代數(shù)式前兩項提取2，配方后根據完全平方式為非負數(shù)，得到代數(shù)式大于等于1，即對于任何實數(shù)x，代數(shù)式2x²+4x+3的值總大于0，得證．
（2）證明多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-2的值時，可以證明3x²-5x-1-（2x²-4x-2）＞0

解答：證明：（1）∵對于任何實數(shù)x，（x+1）²≥0，
∴2x²+4x+3
=2（x²+2x）+3
=2（x²+2x+1）+1
=2（x+1）²+1≥1＞0．

（2）∵3x²-5x-1-（2x²-4x-7）
=3x²-5x-1-2x²+4x+7
=x²-x+6
=（x-

1

2

）²+5

3

4

＞0
∴多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-7的值．

點評：此題考查了配方法的應用，以及非負數(shù)的性質：偶次冪，靈活應用完全平方公式是解本題的關鍵．