Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，以BC為直徑作圓，過A點(diǎn)作圓的切線，交DC于E，切點(diǎn)為F．
（1）求△ADE的面積；
（2）求BF的長．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥BC，
∴AB為圓O的切線，
又AE為圓O的切線，
∴AB=AF=4，
同理得到EF=EC，
設(shè)EF=EC=x，則有DE=DC-EC=4-x，AE=AF+EF=4+x，
在Rt△ADE中，利用勾股定理得：AE²=AD²+DE²，即（4+x）²=4²+（4-x）²，
解得：x=1，
∴DE=4-1=3，
則S_△ADE=AD•DE=6；

（2）連接OA，OF，
∵OB⊥AB，OF⊥AF，且OB=OF，
∴AO為∠BAF的平分線，
∵AB=AF，
∴AM⊥BF，M為BF的中點(diǎn)，
在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得：OA==2，
∵S_△ABM=AB•OB=OA•BM，
∴BM==，
則BF=2BM=．
分析：（1）由AB垂直于BC，得到AB與圓O相切，再由AE與圓O相切，利用切線長定理得到AB=AF=4，同理得到EF=FC=x，表示出AE與DE，在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出DE的長，由AD于DE乘積的一半即可求出三角形ADE的面積；
（2）連接OF，OA，利用角平分線逆定理得到AO為角平分線，再由AB=AF，利用三線合一得到AO垂直于BF，M為BF中點(diǎn)，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的長，利用面積法求出BM的長，由BF=2BM即可求出BF的長．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．