22、我們知道一個(gè)圖形的性質(zhì)和判定之間有著密切的聯(lián)系.比如,由等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”很易得到它的判定“等角對(duì)等邊”.小明在學(xué)完“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合”性質(zhì)后,得到如下三個(gè)猜想:
(1)如果一個(gè)三角形一邊的中線和這邊上的高相互重合,則這個(gè)三角形是等腰三角形;
(2)如果一個(gè)三角形一邊的高和這邊所對(duì)的角的平分線相互重合,則這個(gè)三角形是等腰三角形;
(3)如果一個(gè)三角形一邊的中線和這邊所對(duì)的角的平分線相互重合,則這個(gè)三角形是等腰三角形.
我們運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì),很易證明猜想(1)的正確性.現(xiàn)請(qǐng)你幫助小明判斷他的猜想(2)、(3)是否成立,若成立,請(qǐng)結(jié)合圖形,寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)舉反例說(shuō)明.
分析:(2)首先根據(jù)命題寫(xiě)出已知,求證,然后根據(jù)題意,推出△CAD≌△BAC,即可推出AB=AC,(3)首先根據(jù)命題寫(xiě)出已知,求證,畫(huà)出圖形,然后,做出輔助線作DE⊥AC,DF⊥AB,根據(jù)條件推出Rt△CED≌Rt△BFC,即可推出∠B=∠C,根據(jù)△ABC內(nèi),等角對(duì)等邊,即可推出AB=AC.
解答:解:(2)、(3)都正確.
(2)已知:在△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,
求證:AB=AC(1分)
證明:∵AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD,
∵AD=AD,
∴△CAD≌△BAC(ASA)(4分)
∴AB=AC,

(3)已知:在△ABC中,CD=BD,AD平分∠BAC,
求證:AB=AC(5分)
證明:作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E、F,(6分)
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∵CD=BD,
∴Rt△CED≌Rt△BFC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、根據(jù)命題寫(xiě)已知、求證,全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)的等性質(zhì)定理,關(guān)鍵在于根據(jù)命題寫(xiě)出已知、求證、畫(huà)出圖形.
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(3)如果一個(gè)三角形一邊的中線和這邊所對(duì)的角的平分線相互重合,則這個(gè)三角形是等腰三角形.
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