Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，連接DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）若OA=10，CF=2AF，求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）由∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，可得∠C=∠AFO，即可證得∠OAC=90°，即可得AC是⊙O的切線．
（2）易證得△ACF∽△OCA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AC的長．

解答：（1）證明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，
∴∠BAD=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠BAD+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°．
∴∠OAC=90°．
∴OA⊥AC．
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵OA⊥AC，OC⊥AD，
∴∠OAC=∠AFC=90°，
∵∠C是公共角，
∴△ACF∽△OCA，
∴

CF

AC

=

AF

OA

，
∵OA=10，CF=2AF，
∴AC=2OA=20．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．