Question

如圖，直角△ABC中，∠C=90°，，，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．
（1）求AC、BC的長；
（2）設PC的長為x，△ADP的面積為y．當x為何值時，y最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，根據∠B的正弦值及斜邊AB的長，可求出AC的長，進而可由勾股定理求得BC的長；
（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達式，也就求出AD的表達式，進而可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關于y、x的函數關系式，根據所得函數的性質，可求出y的最大值及對應的x的值．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，，，
得，
∴AC=2，根據勾股定理得：BC=4；（3分）

（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴；
設PC=x，則，，
∴
∴當x=2時，y的最大值是1． （8分）
點評：此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識．