Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，點F在DE上，并且AF=CE。

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形?請回答并證明你的結論。

(3)四邊形ACEF有可能是正方形嗎?為什么?

Answer 1

(1)證明：∵CE=AE=EB

∴CE=AE=AF                                                 

又∵DF//AC

∴∠F=∠FEA=∠EAC=∠ECA

即∠F=∠ACE

又∵∠ACE+∠CEF=180°

∴∠F+∠CEF=180°

∴AF//CF                                                              

∴四邊形ACEF是平行四邊形                                

(2)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形，因為∠B=30°，所以∠EAC=60°。又因為EA=EC，    所以△ABC是等邊三角形，所以EC=EA，故□ACEF是菱形。   

(3)四邊形ACEF不可能是正方形，假設四邊形ACEF是正方形，則∠ACE=90°,則CE與CB重合，這與已知△ABC點E在AB上矛盾，所以不存在這樣的正方形。