Question

如圖，在正方形ABCD中，M是AD的中點，連接BM，BM的垂直平分線交BC的延長線于F，連接MF交CD于N．求證：
（1）BM=EF；
（2）2CN=DN．

Answer 1

（1）證明：∵M為AD的中點，
∴AM=DM=AD=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴==，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）證明：過點M作MH⊥BC于點H，
設AB=2a，M是AD的中點，
則EF=BM=a，
S_△BMF=BM•EF=a²，
∵S_△BHM+S_△MHF=a²，
∴S_△BHM=a²
∴HF=CF+a，
S_△MHF=×2a×（a+FC）=a²-a²=a²，
解得：FC=a，
∵△DMN∽△CFN，
∴DN：CN=DM：CF=a：=2：1，
∴DN=2CN．
分析：（1）根據AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，證△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根據BM=2BE推出即可．
（2）過M作MH⊥BC于H，得出四邊形AMHB和四邊形MDCH是矩形，根據勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面積，根據S_△BHM+S_△MHF=a²，進而求出FC的長，即可得出答案．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，正方形性質等知識點，訓練學生是否熟練運用性質進行推理和計算，題目綜合性比較強，有一定的難度．