Question

如圖，在正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，連接BM，BM的垂直平分線交BC的延長線于F，連接MF交CD于N．求證：
（1）BM=EF；
（2）2CN=DN．

Answer 1

（1）證明：∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM=AD=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴==，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）證明：過點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，
設(shè)AB=2a，M是AD的中點(diǎn)，
則EF=BM=a，
S_△BMF=BM•EF=a²，
∵S_△BHM+S_△MHF=a²，
∴S_△BHM=a²
∴HF=CF+a，
S_△MHF=×2a×（a+FC）=a²-a²=a²，
解得：FC=a，
∵△DMN∽△CFN，
∴DN：CN=DM：CF=a：=2：1，
∴DN=2CN．
分析：（1）根據(jù)AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，證△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根據(jù)BM=2BE推出即可．
（2）過M作MH⊥BC于H，得出四邊形AMHB和四邊形MDCH是矩形，根據(jù)勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面積，根據(jù)S_△BHM+S_△MHF=a²，進(jìn)而求出FC的長，即可得出答案．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，訓(xùn)練學(xué)生是否熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．