Question

已知：PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側．如圖，當∠APB=45°時，求AB及PD的長．

Answer 1

解：過A點作AE⊥PB于E，如圖，
∵∠APB=45°，
∴△APE為等腰直角三角形，
∴PE=AE=PA=×=1，
∵PB=4，
∴BE=PB-PE=4-1=3，
在Rt△AEB中，AB===；
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△APD繞點A順時針旋轉90°得到△AFB，AD與AB重合，PA旋轉到AF的位置，如圖，
∴AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，
∴△APF為等腰直角三角形，
∴∠APF=45°，PF=AP=×=2，
∴∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°，
在Rt△FBP中，PB=4，PF=2，
∴FB===2，
∴PD=2，
所以AB和PD的長分別為、2．
分析：過A點作AE⊥PB于E，由∠APB=45°得△APE為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質有PE=AE=PA=×=1，則BE=3，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理可計算出AB=；由于AD=AB，∠DAB=90°，則把△APD繞點A順時針旋轉90°得到△AFB，AD與AB重合，PA旋轉到AF的位置，根據旋轉的性質得到AP=AF，∠PAF=90°，PD=FB，則△APF為等腰直角三角形，得到∠APF=45°，PF=AP=×=2，即有∠BPF=∠APB+∠APF=45°+45°=90°，然后在Rt△FBP中，根據勾股定理可計算出FB的長，即可得到PD的長．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角線段，對應線段線段；對應點的連線段所夾的角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質以及勾股定理．