Question

設(shè)a，b，p，q，r，s為正整數(shù)，滿足qr-ps=1，

p

q

＜

a

b

＜

r

s

．證明：b≥q+s．

Answer 1

分析：此題首先由

p

q

＜

a

b

得：

bp

qb

＜

aq

qb

，由

a

b

＜

r

s

得：

as

bs

＜

br

bs

，和已知a，b，p，q，r，s為正整數(shù)，推出aq-bp≥1，br-as≥1，
再由qr-ps=1，把b表示成q（br-as）+s（aq-bp），最后推出b≥q+s．

解答：證明：由

p

q

＜

a

b

得：

bp

qb

＜

aq

qb

，即得，aq-bp＞qb，已知a，b，p，q，r，s為正整數(shù)，則aq-bp為正整數(shù)，
由

a

b

＜

r

s

得：

as

bs

＜

br

bs

，即得：br-as＞bs，已知a，b，p，q，r，s為正整數(shù)，則br-as為正整數(shù)，
所以有aq-bp≥1，br-as≥1，
已知qr-ps=1，所以，
b=b（qr-ps）=q（br）+s（-bp）=q（br-as）+s（aq-bp），
又aq-bp≥1，br-as≥1（已證），
所以q（br-as）+s（aq-bq）≧q+s，
即b≥q+s．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是整數(shù)問題的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想通過已知推出aq-bp≥1，br-as≥1，把b轉(zhuǎn)化為q（br-as）+s（aq-bp），從而得證．