Question

已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若ab-a-b=27，求m；
（3）是否存在m，使得a與b的倒數(shù)和為0？若存在，請求出m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)已知可知，方程有兩個實數(shù)根，那么△≥0，解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=2（m+1），ab=m²+5，再代入ab-a-b=27，即可求出m的值；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=2（m+1），ab=m²+5，再利用

1

a

+

1

b

=0成立求出m的值即可．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=[-2（m+1）]²-4×1×（m²+5）=8m-16≥0，
解得m≥2；

（2）∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個實數(shù)根，
∴a+b=2（m+1），ab=m²+5．
∵ab-a-b=27，
∴m²+5-2（m+1）=27，
∴m²-2m-24=0，
解得m=6或-4，
∵m≥2，
∴m=6；

（3）不存在m的值，使得a與b的倒數(shù)和為0．理由如下：
∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個實數(shù)根，
∴a+b=2（m+1），ab=m²+5．
若

1

a

+

1

b

=0成立，則2（m+1）=0，
解上述方程得，m=-1．
∵m≥2，
∴m=-1不合題意，
∴不存在m的值，使得a與b的倒數(shù)和為0成立．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．