【題目】如圖,⊙O△ABC的外接圓,AB⊙O的直徑,D⊙O上一點,OD⊥AC,垂足為E,連接BD.

(1)求證:BD平分∠ABC;

(2)當(dāng)∠ODB30°時,求證:BCOD.

【答案】見解析

【解析】(1)由OD⊥AC OD為半徑,根據(jù)垂徑定理,即可得=,又由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,即可證得BD平分∠ABC;

(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度數(shù),又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度數(shù),然后由AB是⊙O的直徑,根據(jù)圓周角定理,可得∠ACB=90°,繼而可證得BC=OD.

證明:(1)∵OD⊥AC OD為半徑,

=,

∴∠CBD=∠ABD,

∴BD平分∠ABC;

(2)∵OB=OD,

∴∠OBD=∠0DB=30°,

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,

又∵OD⊥AC于E,

∴∠OEA=90°,

∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°,

又∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

在Rt△ACB中,BC=AB,

∵OD=AB,

∴BC=OD.

“點睛”此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識.此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

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