Question

在n×n的正方形棋盤上，按以下法則放置棋子：如果某小格子上沒有棋子，則在過這格的水平線與豎直線上的棋子總數(shù)不小于n．
求證：在棋盤上的棋子數(shù)不少于

n2

2

個．

Answer 1

證明：考察n行（橫）及行（豎）中，一定存在某一行或某一列放置棋子的數(shù)目最少，不妨設(shè)是第一行放的棋子數(shù)量最少，只有k個，…5分
若k≥

n

2

，則n行棋子數(shù)s≥nk≥n•

n

2

=

n2

2

，…10分
若k≤

n

2

，則第一行放了棋子數(shù)為k格所對應(yīng)的列上的棋子數(shù)不少于k，故這k列上的棋子數(shù)s₁≥k•k=k²，而第一行未放棋子的（n-k）列上的棋子數(shù)s₂≥（n-k）²，…15分
故s=s₁+s₂=k²+（n-k）²，
而k²+（n-k）²-

n2

2

=2（k-

n

2

）²≥0，
故s≥

n2

2

．…25分