Question

如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連AP、BP，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
（1）填空：∠APC=______度，∠BPC=______度；
（2）求證：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可求得題目中的未知角；
（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等即可；
（3）利用上題證得的兩三角形全等判定△PCM為等邊三角形，進(jìn)而求得PH的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式計(jì)算梯形的面積即可．
解答：（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；

（2）證明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四點(diǎn)共圓，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP；

（3）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP  AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S_梯形PBCM=（PB+CM）×PH==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計(jì)算方法，是一道比較復(fù)雜的幾何綜合題．