Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）當(dāng)梯形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？請說明理由．
（3）四邊形EFGH可能是正方形嗎？若可能，請直接寫出此時(shí)梯形應(yīng)滿足的條件；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AC．利用三角形中位線定理推知EF∥GH且EF=GH．則根據(jù)“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖，連接BD．利用三角形中位線定理只需推知（1）中的平行四邊形的鄰邊相等即可；
（3）正方形是一特殊的菱形：內(nèi)角是直角的菱形為正方形．所以當(dāng)（2）中的菱形EFGH鄰邊相互垂直即可證得該菱形是正方形．

解答：（1）證明：連接AC．
∵在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC且EF=

1

2

AC．
同理，GH∥AC且GH=

1

2

AC．
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)梯形是等腰梯形（或AC=BD或AB=CD）時(shí)，四邊形EFGH是菱形．
理由如下：
如圖，連接BD．
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．
∴EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，
∴EF=EH．
∴平行四邊形EFGH是菱形．  

（3）當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評：本題考查了中點(diǎn)四邊形．解答該題時(shí)，注意輔助線的作法：通過作輔助線構(gòu)建三角形，利用三角形中位線定理來解題．