Question

已知，三個直徑分別為2，4，5的圖如圖排列，每兩個圓之間外切，O₁P切⊙O₃于點P，則圖中陰影部分面積為________．

Answer 1

π-
分析：連接O₁O₃，O₃P，設(shè)直線O₁P交⊙O₂于A、B，連接O₂A，O₂B，過O₂作O₂C⊥AB于C，推出△O₁CO₂∽△O₁PO₃，得出=，代入求出O₂C=1，由勾股定理求出BC=，由垂徑定理求出AB=2BC=2，求出∠CBO₂=30°，求出∠AO₂B=120°，根據(jù)S=S-S求出即可．
解答：解：連接O₁O₃，O₃P，設(shè)直線O₁P交⊙O₂于A、B，連接O₂A，O₂B，過O₂作O₂C⊥AB于C，
∵O₁P切⊙O₃于P，
∴O₃P⊥O₁P，
∴O₂C∥O₃P，
∴△O₁CO₂∽△O₁PO₃，
∴=，
∴=，
∴O₂C=1，
由勾股定理得：BC==，
∵O₂C⊥AB，O₂C過圓心O₂，
∴AB=2BC=2，
∵O₂B=2=2O₂C，∠O₂CB=90°，
∴∠CBO₂=30°，
∴∠CO₂B=60°，
∵AO₂=BO₂，O₂C⊥AB，
∴∠AO₂C=∠BO₂C=60°，
∴∠AO₂B=60°+60°=120°，
∴陰影部分的面積S=S-S=-×2×1=π-，
故答案為：π-．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，求扇形的面積，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生的推理和計算的能力．