Question

在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC的中點，過點A作AE⊥BD于E，交BC于點F，求證：BF=2CF．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線，證明△ABE≌△CAG，得到BE=AG，AE=CG；證明BE=AG=2AE=2CG；證明△BEF∽△CGF，得到
BF：CF=BE：CG=2，問題即可解決．

解答：證明：如圖，過點C作CG⊥AF，交AF的延長線于點G；
∵AE⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAG，
∴∠ABE=∠CAG；
在△ABE與△CAG中，

∠ABE=∠CAG ∠AEB=∠CGA AB=AC

，
∴△ABE≌△CAG（AAS），
∴BE=AG，AE=CG；
∵BD⊥AG，CG⊥AG，
∴DE∥CG，而AD=DC，
∴AE=EG，BE=AG=2AE=2CG；
∵DE∥CG，
∴△BEF∽△CGF，
∴BF：CF=BE：CG=2，
∴BF=2CF．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．