Question

如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB=DC，BC=AD．

Answer 1

分析：作出輔助線，利用射影定理以及四點共圓的性質得出EFOQ四點共圓，BECQ四點共圓，進而得出四邊形ABCD是平行四邊形，從而得出答案即可．

解答：證明：作CQ⊥PD于Q，連接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，
所以PC²=PQ•PO（射影定理），
又PC²=PE•PF，
所以EFOQ四點共圓，
∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，
而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因為∠AEC=∠PQC=90°，
故B、E、C、Q四點共圓，
所以∠EBC=∠EQC=

1

2

∠EQF=

1

2

∠EOF=∠BAD，
∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，BC=AD．

點評：此題主要考查了四點共圓的性質以及射影定理，根據(jù)已知得出EFOQ四點共圓，BECQ四點共圓是解題關鍵．