Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，連接BF．
（1）證明：AF平分∠BAC；
（2）作∠ABC的角平分線交AF于點D，（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（3）若EF=2，DE=3，求tan∠EBF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OF，由FH是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，易證得OF⊥BC，然后由垂徑定理，求得AF平分∠BAC；
（2）根據(jù)角平分線的作法，求解即可求得∠ABC的角平分線；
（3）易證得△BDF是等腰三角形，即可求得BF的長，△BEF∽△ABF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AF的長，繼而求得答案．
解答：（1）證明：連接OF，
∵FH是⊙O的切線，
∴OF⊥FH，
∵FH∥BC，
∴OF⊥BC，
∴=，
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF平分∠BAC；

（2）如圖：BF即是∠ABC的角平分線；

（3）解：∵∠ABD=∠CBD，∠BAF=∠CAF=∠CBF，且∠FBD=∠CBD+∠CBF，∠BDF=∠ABD+∠BAF，
∴∠FBD=∠BDF，
∴BF=DF=EF+DE=2+3=5，
∵∠AFB=∠BFE（公共角），∠CBF=∠BAF，
∴△BEF∽△ABF，
∴BF：AF=EF：BF，
∴AF==，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴tan∠EBF=tan∠BAF===．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的作法、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．